Ignazio Licata - Teoria degli Universi e Sintropia-Luigi Fantappié, ricordo di un matematico. - Luigi Fantappié - Sintropia

Teoria degli Universi e Sintropia. Luigi Fantappié, ricordo di un matematico.

Come per tutte le attività creatrici così anche per la matematica è possibile individuare periodi floridi, in cui pensieri nuovi danno l'avvio scuole e correnti rigogliose che arricchiscono una disciplina. In Italia il coraggio e la forza della generazione del risorgimento avevano segnato tutte le scienze e le arti. In special modo la matematica. Con i loro lavori. Brioschi, Betti, Cremona, Beltrami e Casorati posero le basi, a livello internazionale. di un nuovo aspetto dell' algebra. della geometria e delle loro relazioni. dell'analisi in campo complesso e delle applicazioni di questa alla fisica-matematica. Inaugurarono inoltre nel nostro paese la tradizione dei politecnici e Betti ebbe un ruolo chiave nella creazione della Scuola Normale di Pisa. A questa generazione succedette quella non meno prolifica di Severi, Volterra, Bianchi, Krall. A Palermo, nell' epoca dei Florio, G. B.Guccia. allievo di Cremona. crea il Circolo Matematico di Palermo, che per diversi decenni sarà uno dei più importanti centri internazionali per la matematica. È in questo contesto, ricco di idee e di grandi maestri. che alla Scuola Normale di Pisa, nel 1922, si laureano un fisico ed un matematico. Il fisico è Enrico Fermi. Il matematico è Luigi Fantappié (Viterbo 1901-Roma 1956). La matematica ha un grande impatto su tutte le attività umane. Ma spesso i suoi concetti ed i suoi nomi non arrivano al grande pubblico. Vogliamo qui ricordare Luigi Fantappié, ed i suoi numerosi contributi alla scienza, con particolare riguardo ad un tema di rinnovato interesse, la ricerca di una teoria unificata del mondo fisico e biologico.

Nel 1942 Luigi Fantappié era uno dei più famosi matematici italiani. La sua teoria dei Funzionali Analitici, che estendeva i concetti dell' analisi funzionale in campo complesso, sviluppata sin dal 1925, lo aveva reso celebre in tutto il mondo. Ricopriva la cattedra di Alta Analisi all'Istituto Nazionale di Alta Matematica, fondato da Severi nel 1939. Eppure non fu mai un accademico chiuso nella sua torre d'avorio, compiaciuto dei suoi successi. Uomo colto ed autenticamente curioso, stoffa da filosofo naturale, era un convinto assertore della necessità del dialogo interdisciplinare ed ebbe un ruolo chiave nella creazione del Centro Internazionale di Comparazione e Sintesi, a Roma, che fu un luogo d’eccellenza in quello che oggi chiameremmo crossing disciplinare.

In quel periodo Fantappié si pose un problema ancora lontano dalle preoccupazioni degli specialisti: quello della convergenza e della conciliazione tra fisica e biologia. Si era ancora lontani dalla scoperta del codice genetico ed i biologi cercavano una base molecolare per la teoria darwiniana, il cui status culturale era ancora al centro di vivaci polemiche, scientifiche ed “ideologiche”. D'altra parte le preoccupazioni dei fisici erano intensamente rivolte all’esplorazione del “nuovo mondo” sub-nucleare. Nei loro principi di base le due scienze erano praticamente senza contatti. Questo contrastava l’ aspirazione del pensiero scientifico verso una visione unitaria della Natura, operando una separazione contraddittoria tra aree di conoscenza. Una delle acquisizioni più solide della fisica è infatti il secondo principio della termodinamica, che ci insegna a calcolare, per ogni processo fisico, l'aumento di entropia, ovvero la dissipazione d’energia ed il consumo della macchina-mondo.

Si tratta di fenomeni evidenti a livello perfino di esperienza quotidiana: il logoramento per attrito, l'irreversibilità dei processi di combustione, l'invecchiamento... Ma all'interno del mare dell'entropia deve esistere la possibilità di isole di ordine ed organizzazione. Infatti in biologia e nelle scienze cognitive assistiamo alla creazione ed allo sviluppo di forme sempre più complesse e differenziate, la cui organizzazione rende il sistema in grado di accrescere il proprio ordine e modificarlo in risposta agli stimoli dell'ambiente esterno. Fantappié pensò che la soluzione di questo enigma andasse ricercata nei principi fondazionali della fisica.

La teoria della sintropia – scelto come termine opposto ad entropia, e più radicale del già diffuso neghentropia - parte da una considerazione sulla struttura delle equazioni della fisica quanto-relativistica. Un'equazione chiave è l'equazione di D'Alembert, che descrive i processi ondulatori. Questa equazione ammette due tipi di soluzioni: (a) onde divergenti, descritte da potenziali ritardati, che si diramano dalla sorgente “causa” del fenomeno ondulatorio e (b) onde convergenti, descritte da potenziali anticipati, che convergono in un punto. Le onde divergenti ci sono ben note. Ad esempio: le onde emanate da un trasmettitore radio. Nei problemi tradizionali della fisica non si tiene conto del secondo tipo di soluzioni semplicemente perché - in apparente contrasto con le condizioni di simmetria relativistica - nessuno ha mai osservato “onde dal futuro”.

L'idea di Fantappié fu di considerare alla stessa stregua le due soluzioni, assegnando ad ognuna un ruolo di tipo “termodinamico”. Alle prime, le onde divergenti, sono legati i fenomeni entropici, con livellamento e degrado dell' energia. Il fisico teorico Olivier Costa De Beauregard ha dimostrato in maniera elegante nel 1957 1a connessione tra entropia e potenziali ritardati utilizzando considerazioni di meccanica statistica. Invece i potenziali anticipati, concentrando l'energia in un punto, creano le condizioni iniziali per lo sviluppo di una diversa classe di fenomeni, i fenomeni sintropici, tipici della vita, caratterizzati da un "surplus” di energia in un ristretto volume spaziotemporale. In pratica l’azione dei potenziali anticipati su un sistema di particelle sarebbe visto da un osservatore come un fenomeno di “coerenza” tra i costituenti del sistema.

I due tipi di fenomeni possono essere studiati tramite un principio duale essendo gli uni l'inverso degli altri. In effetti le proprietà dell'operatore di D'Alembert e i due tipi di potenziali sono strettamente connesse al cono-luce della geometria di Minkowski, usata in relatività per connettere con segnali a velocità della luce osservatori inerziali che si muovono nello spazio-tempo a velocità uniformi diverse (vedi fig 1 e 2).

Fig. 1 – I due coni con vertici S' ed S’’ rappresentano nello spazio-tempo rispettivamente onde divergenti da S’(causa) ed onde convergenti in S’’(fine).

Entropia e Sintropia

Fig.2- Un’onda convergente nel punto S (fine) genera un’onda divergente dal punto S (causa). Ogni fenomeno sintropico è quindi causa di un fenomeno entropico successivo.

La simmetria passato-futuro del cono-luce si riflette nella complementarità duale dei due tipi di potenziali.

Nella costruzione della teoria Fantappié utilizzò un’interpretazione statica dello spazio-tempo, comune ad altri studiosi, come H. Weyl. In breve passato-presente-futuro formano una struttura globale interconnessa e coesistente. Fantappié definì infatti su base relativistica il concetto di “esistenza totale” ed introduceva con i potenziali anticipati un finalismo intrinseco della natura, mentre i potenziali ritardati erano legati all' entropia ed alla causalità.In altre parole l’esistente “globale” contiene in sé le condizioni al contorno per l’emergenza della vita. Emerge in questa concezione di filosofia naturale un’ambizione metafisica intesa come necessità di inserire l'indagine della natura in un più ampio quadro filosofico ed esistenziale. Fantappié, spirito profondamente religioso, non nascose mai che lo strumento della scienza era per lui una componente della ricerca di Dio. Scriveva infatti nel 1954 (in La Scienza testimone di Dio, Tabor, VIII,3):

«... solo se si abbandonano i veri fini della scienza (conoscenza razionale della realtà), sostituendo questi fini con mezzi occasionali di una certa epoca (metodo, tecnica), elevati a fine ultimo dai ricercatori miopi, si può nella scienza mettere da parte l'idea di Dio. Altrimenti Dio è naturalmente al centro della scienza, essendone il motore ed il fine, come è provato dagli stessi grandi scienziati di tutte le epoche, da Galileo a Newton, da Platone a Picard, da Linneo a Pasteur, nonostante le opposte opinioni dei loro più meschini seguaci».

E’ facile comprendere come nell’Italia del dopoguerra, divisa dalle lotte ideologiche tra cattolici e marxisti, queste posizioni finaliste e religiose gli procurarono ostilità ed incomprensioni. Per gli scienziati di orientamento cristiano le sue posizioni erano eccentriche e scomode, per quelli marxisti “idealistiche”. Queste polemiche non gli tolsero mai la serenità e l'apertura al confronto.

Ritornando alla teoria, Fantappié considerava i fenomeni sintropici finalistici al di fuori delle possibilità del metodo galileiano, poiché l'indagine sperimentale può riprodurre in laboratorio soltanto i fenomeni causali entropici. Questo equivale a dire che le onde convergenti sono certamente più difficili da rivelare sperimentalmente di quelle divergenti. È possibile rendersi conto di ciò con una considerazione fisica semplice.

Consideriamo un recipiente con dentro un fluido perfetto ed in esso un oscillatore, sorgente di onde (Vasca di Fantappié). Consideriamo il sistema isolato in equilibrio termico. Saranno presenti tutti i moti ondulatori possibili, in modo caotico; come si dice in gergo, saranno presenti tutti i possibili gradi di libertà. Ora l'oscillatore emetterà un'onda divergente, ora ne assorbirà una convergente. Se si fornisce un'energia all'oscillatore in modo da rompere l'equilibrio termico, la tendenza a restaurare questo equilibrio farà sì che sarà maggiore l'energia versata dalla sorgente nel fluido (onde divergenti) che quella che la sorgente assorbirà dal mezzo (onde convergenti). In questo caso avremo che la tendenza entropica legata alle onde divergenti avrà globalmente la supremazia, mentre la presenza sintropica è più sottile ma ugualmente presente, delicata come i fenomeni a cui presiede. Consideriamo adesso, al posto del recipiente, l'universo fisico nella sua totalità e ne concludiamo che in esso sono presenti, anche se con intensità diversa, sia la componente entropica che quella sintropica. Una versione della teoria che contempla anche i casi intermedi tra entropia e sintropia è stata proposta nel 1950 da Giuseppe Arcidiacono, matematico e cosmologo, e dal fratello, il biochimico Salvatore Arcidiacono (vedi fig.3).

Entropia e Sintropia in un Universo Ipersferico

Fig.3- In un universo ipersferico (tipo De Sitter) un’onda divergente da A , raggiunto il raggio massimo, si trasforma in un’onda convergente in B. Non è dunque possibile separare i fenomeni entropici da quelli sintropici.

Il problema dei potenziali anticipati, formalmente necessari alla teoria eppure senza riscontro sperimentale, era in quegli anni oggetto di intense ricerche. J. A. Wheeler e R .P .Feynman (1945;1949) e poi F. Hoyle e J. Narlikar (1964; 1969;1971), studiarono le condizioni cosmologiche per l’assorbitore; in altre parole, definirono matematicamente perché il gioco di interferenze all’interno della “scatola” universo sono tali da permettere di osservare soltanto i potenziali ritardati, concordando sostanzialmente con l’approccio di Fantappié. Va osservato che l’interesse per il problema dei potenziali anticipati in cosmologia è praticamente fermo a questa grande trilogia.

Uno sviluppo interessante si è avuto nell’ambito della teoria quantistica dei campi. Nei processi quantistici ciò che noi osserviamo sono sempre transizioni elementari, come i processi di emissione-assorbimento di particelle.La simmetria relativistica ci impone di considerare transizioni “forward” e “backward” (J. Cramer). Ma questo equivale a considerare il ben noto fenomeno della non-località quantistica, ossia la possibilità degli oggetti quantistici di scambiarsi informazione attiva (D. Bohm) senza scambio di energia in particolari stati di coerenza. Ritroviamo quindi in un contesto diverso l’antica suggestione di Fantappié. Non a caso diversi fisici e biologi hanno suggerito recentemente la possibilità di un ruolo dell’entangled quantistico nel garantire le condizioni necessarie per la complessità di alcuni processi biologici (H. Frolich; G. Preparata).

Abbiamo visto come la teoria unitaria del mondo fisico e biologico aveva portato Fantappié ad interessarsi della struttura dell'universo nella sua globalità. Come è noto, la teoria della relatività generale di Einstein permise di impostare il problema cosmologico su basi rigorosamente fisico-matematiche, ma la struttura delle equazioni di campo non determinava univocamente la scelta tra diversi modelli. Per di più, era ormai evidente che una teoria di campo continua non potesse rendere conto dei valori discreti, quantizzati, delle grandezze microfisiche.

«Questo non sembra essere in accordo con una teoria del continuo, e deve condurre al tentativo di trovare una teoria puramente algebrica per la descrizione della realtà. Tuttavia nessuno sa in che modo ottenere le basi di una tale teoria».

Il terzo grande contributo di Fantappié alla scienza riguarda proprio questo argomento. A partire dal 1952, con una bellissima serie di lavori, indicò il metodo per la costruzione rigorosa su basi algebriche di modelli d'universo. Fantappié osservò che per concepire lo stesso concetto di legge fisica è necessario che questa sia valida senza eccezioni, in ogni zona dello spazio-tempo. Questa validità implica che i cambiamenti di coordinate spaziali e temporali nell' espressione matematica della legge siano tali da lasciarla invariata in forma. Queste trasformazioni di coordinate devono perciò presentare delle particolari simmetrie, esprimibili attraverso una struttura matematica detta gruppo.

Nel corso dello sviluppo storico della fisica è accaduto che si sono fatti degli esperimenti, scritte delle equazioni e poi si è osservato che queste equazioni erano invarianti in forma sotto certe trasformazioni gruppali. Fantappié, convinto assertore della capacità della matematica di cogliere il reale, propose il metodo inverso, cioè di utilizzare i gruppi per arrivare alle leggi, idea audacissima che anticipa di due anni il lavoro fondamentale di C.N. Yang e R. Mills.

Naturalmente le strutture gruppali possibili matematicamente sono moltissime, ma il punto di partenza univoco è individuato dai due gruppi già da tempo noti in fisica, le leggi della meccanica newtoniana sono infatti invarianti per trasformazioni di Galilei, mentre le leggi dell'elettromagnetismo e della meccanica relativistica sono invarianti per il gruppo di Lorentz. Da notare che la meccanica classica è contenuta come caso particolare di quella relativistica quando si considerano interazioni a velocità infinita e non alla velocità limite della luce; in modo analogo il gruppo di Galilei è un caso particolare di quello di Lorentz.

Fantappié cominciò a sviluppare il suo programma mostrando come le leggi di ogni modello d'universo fisico erano effettivamente individuate dalla sua struttura gruppale. In una bella memoria del 1955, ad esempio, mostrò come il gruppo di Galilei permettesse di dedurre la forma della legge di gravitazione di Newton. Altri risultati importanti riguardano la meccanica quantistica. Egli fece vedere come la forma degli operatori quantici, che determinano le grandezze osservabili, fosse interamente determinata dal gruppo.

In campo cosmologico dimostrò che il modello relativistico di Minkowski individuato dal gruppo di Lorentz può essere perfezionato passando ad un gruppo più ampio in modo unico ed ottenendo così il modello di De Sitter, con curvatura spaziotemporale globale, con conseguenze di estrema importanza per le teorie gravitazionali e cosmologiche. Continuando a sviluppare questo metodo dell' estensione gruppale si ottiene una successione di Universi Ipersferici, che rappresentano matematicamente i vari livelli descrittivi del mondo fisico, ognuno dei quali contiene l'altro, come in una matrioska.

L’aspetto interessante del lavoro di Fantappié, continuato da Giuseppe Arcidiacono, è che indica l’importanza dell’universo di De Sitter utilizzando un metodo rigoroso, e non considerazioni fisiche ad hoc.In pratica, l’universo di De Sitter(ed il gruppo di De Sitter-Fantappiè-Arcidiacono che lo caratterizza) viene individuato univocamente a partire da una catena logico-matematica che include il gruppo di Galilei ed il gruppo di Lorentz, un pò come una retta viene individuata su un piano da due punti. La cosa davvero sorprendente è che questi lavori anticipano l’interesse recente che a questo modello d’universo viene dato dalla cosmologia quantistica. Infatti il termine cosmologico che il gruppo impone alle equazioni gravitazionali di Einstein corrisponde proprio ad una descrizione metrica “classica” del vuoto quantistico.In questo modo, come l’autore di questa nota ha mostrato, è possibile ritrovare la condizione di Hartle-Hawking per l’universo senza bordi con un nuovo significato fisico.

Si è ancora ben lontani dall'aver esplorato tutte le possibilità di questo metodo in cosmologia ed in microfisica.

Luigi Fantappié muore il 28 luglio 1956. Fermi, il suo amico dei tempi studenteschi, ed campione di un altro stile nella scienza, lo aveva preceduto l'anno prima. Poco prima della morte Fantappié aveva scritto:

«Quanto sembra inesplicabile in un universo può invece trovare la sua logica sistemazione in un altro universo associato ad un numero maggiore di gradi di libertà... Grazie al nostro io spirituale apparteniamo a tutta la catena degli universi... Vero è che alcuni limitano con pregiudizi i propri gradi di libertà. ritenendo di non possederne altri all’infuori di quelli della mobilità materiale».

La teoria della relatività finale di Fantappié è stata sviluppata dal suo più caro e fecondo allievo, Giuseppe.Arcidiacono (1927-1997) nella più generale teoria degli universi ipersferici. Il risultato filosoficamente più interessante è che lo spazio-tempo della nostra esperienza è puramente fenomenico, in quanto altro non è che una rappresentazione proiettiva del vero universo, a struttura iperspaziale ed a tempo immaginario.In perfetto accordo, aggiungiamo, con le richieste di una cosmologia quantistica, ed in contrasto con l’idea del big- bang come palloncino termodinamico.

La teoria sintropica trova il suo limite più forte nell’osservazione che la concentrazione di energia non è sufficiente per la vita. Occorre energia “informata”, ossia sistemi ad apertura logica in grado di “usare” il flusso d’energia disponibile. L’idea della coerenza quantistica è estremamente affascinante, ed è stata adottata da R. Penrose e R. Hameroff per un’ambiziosa teoria della coscienza ma, proprio come i potenziali anticipati, è molto fragile: i più recenti risultati sperimentali indicano che è estremamente improbabile che uno stato di coerenza possa permanere per un tempo superiore a qualche microsecondo ad una temperatura di 10 microKelvin. Questo non esclude però la possibilità di un ruolo cruciale nei fenomeni biologici per la coerenza.

Il biofisico Mario Ageno notava infatti l’importanza dei domini di indifferenza nei processi bio-molecolari: con lo stesso dispendio d’energia le cose sarebbero potute andare diversamente. Studiando la vita noi studiamo un romanzo in parte già scritto, che per arrivare fino a noi ha attraversato un numero imprecisato ed altissimo di possibilità equivalenti. Non dobbiamo dunque aspettarci necessariamente una ricetta facile ed unica per comprendere l’origine della vita, ma piuttosto una serie di eventi diversi, tutti compatibili con le leggi della fisica. L’estrema “improbabilità” della formazione di una proteina da un brodo di amminoacidi può essere resa più comprensibile in tanti modi. Ad es.,non soltanto con il tradizionale ricorso al “tempo” ed al “caso” – che appare più una petizione di principio che una spiegazione! -, ma anche tenendo in conto la possibilità di rarissimi ma decisivi eventi di coerenza (H. Frolich; T. M. Wu & S. Austin).Ricordiamoci inoltre che esistono anche processi più robusti che si presentano come candidati ideali per studiare i meccanismi fini dell’evoluzione: i sistemi dissipativi di Prigogine, i processi non-lineari, la criticità autoorganizzata……E’ possibile che la vita e l’informazione abbiano tratto vantaggio, in momenti diversi ed in range diversi, da ognuno di questi processi.

Quello che di essenziale resta nella lezione di Fantappié è l’idea che fisica e biologia, l’universo e la molecola, devono incontrarsi ad un livello profondo.Forte dei suoi successi, secondo J.A.Wheeler, la fisica oggi può non limitarsi a chiedere soltanto come, ma deve cominciare a domandarsi perché? Un esempio di questa nuova tendenza è il dibattito sul principio antropico, inizialmente utilizzato dal cosmologo R.H.Dicke come criterio di selezione tra i diversi modelli cosmologi , e ripreso in seguito da J. Barrow e F. Tipler, S. Hawking e L. Smolin. La vita è “soltanto” compatibile con le leggi della fisica o, in qualche modo più profondo, è “scritta” nelle stesse condizioni iniziali dell’universo? La questione è aperta, ed è difficile porla in termini rigorosamente scientifici. Freeman Dyson fa appello alla sua sensibilità più che al suo formidabile rigore quando osserva che l’Universo sembra favorevole alla vita.

E’ questa tensione verso una comprensione sempre più ampia del Reale che lega sottilmente le domande della scienza moderna alla visione unitaria di Luigi Fantappié.

Nota Bibliografica

Un pensiero affettuoso va al Prof. Giuseppe Arcidiacono, che in lunghe chiacchierate in giro per Roma ci mise a parte dei suoi ricordi di allievo e collaboratore di Fantappié.

Un racconto dell’avventura intellettuale di Fantappié può trovarsi nel suo libro:

Le Opere Scelte di Fantappié sono state edite dall' Unione Matematica Italiana, Ed. Pitagora, in 2 voll., Bologna 1973.